1. Para resolver el programa: Optimizar f(x, y) = x² + y²  sujeta a y - x² = 0, por el método de eliminación de variables o de sustitución, se despeja de la restricción del programa  x² = y, y se sustituye en la función objetivo quedando la función de una variable g(y) = y + y².

Calculando los óptimos de g(y) se tiene:

g'(y) = 1 + 2y = 0, de donde y = -1/2

g''(y) = 2 > 0, para cualquier valor de y, por tanto g es una función estrictamente convexa.

En consecuencia, g alcanza en y = -1/2 un mínimo global único.

Para determinar el óptimo del programa, se sustituye  y = -1/2 en x² = y, queda  x² = -1/2, ecuación que no tienen solución en el conjunto de los números reales.

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De las ecuaciones 4ª y 5ª se obtiene x = y= 0, sustituyendo en la 1ª queda 1 = 0, por tanto el sistema no tiene solución, es decir, no existe ningún punto crítico de la función lagrangiana, por lo tanto el programa no tiene óptimo local.

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3. Calcular los puntos críticos del programa:

     Optimizar  f (x, y) = x² + y  sujeta a  y - 2x = 3

La función lagrangiana es L(x, y, l) = x² + y+l (y - 2x) y su gradiente viene dado por ÑL(x, y, l) = (2x - 2l, 1+ l, y - 2x), por ello, los puntos críticos son las soluciones del

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9. Un consumidor tiene una restricción presupuestaria 8x + 3y = 480 y su función de utilidad U(x, y), alcanza en el punto (30, 80) con l = -10 su máximo valor U= 2400. 

Si aumentamos en 20 euros la renta disponible entonces su utilidad máxima tiene un incremento, DU @ DR·l =  20(-10) = -200.

Luego, la nueva máxima utilidad aproximadamente es 

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