1. Los máximos y mínimos relativos de una función derivable se alcanzan en aquellos puntos del dominio de definición de la función en los que cambia la monotonía (de creciente a decreciente o viceversa)

2. Los puntos que anulan la primera derivada de una función son los puntos críticos de la función.

3. Condición necesaria de extremo relativo (condición de primer orden):

Si f(x) es una función derivable en un punto x₀ Î D y x₀ es un extremo relativo de f, entonces f’(x₀)= 0.

En una función derivable esta condición es necesaria pero no es suficiente ya que no todo punto crítico es máximo o mínimo relativo de la función.

4. Condición suficiente de extremo relativo (condición de segundo orden):

Si f es una función con derivada segunda continua en x₀y f’(x₀)= 0, se verifica:

a) f”( x₀) > 0 Þ f tiene en x₀ un mínimo relativo estricto.

b) f”( x₀) < 0 Þ f tiene en x₀ un máximo relativo estricto.

5. Condición suficiente de extremo relativo (general):

Si f es una función derivable hasta orden n en x₀ que cumple:

f’(x₀)= f”(x₀) = f”’(x₀) =….f^(n-1)(x₀) = 0 y f⁽ⁿ⁾(x₀)≠ 0 , se verifica:

a) f⁽ⁿ⁾(x₀) > 0 con n par Þ f tiene en x₀ un mínimo relativo estricto.

b) f⁽ⁿ⁾(x₀) < 0 con n par Þ f tiene en x₀ un máximo relativo estricto.

c) f⁽ⁿ⁾(x₀)≠ 0 con n impar Þ f tiene en x₀ un punto de inflexión.