|
1.
Dada
la ecuación diferencial de coeficientes constantes homogénea
y(n
+ a1
y(n-1 + a2 y(n-2
+ . . .
+ an-2 y'' + an-1 y' +
an y= 0
su
ecuación característica asociada es
ln+
a1ln-1
+ a2ln-2
+...+ +
an-2l2
+ an-1l
+ an=
0. |
|
2. Para
escribir la solución general de una ecuación diferencial lineal
homogénea de coeficientes constantes hay que tener en cuenta:
· Si la ecuación diferencial es de orden n entonces la
solución general viene dada por una expresión en la que aparecen n
constantes arbitrarias.
·
Si la ecuación característica tiene una solución
l0
real y simple entonces en la solución general deberá aparecer un sumando de
la forma Cel0x. |
|
3.
Dada una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes si
su ecuación característica tiene una solución real
l0
con multiplicidad m entonces en la solución general deberá
aparecer una expresión de la forma
C1el0x +
C2
xel0x+
C2
x2el0x +...+
+ Cm
xm-1el0x
que sacando factor común la exponencial queda el0x (C1+
C2
x+
C2
x2+...+
Cm
xm-1). |
|
4.
Para escribir la solución general de una ecuación
diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes hay que tener en
cuenta que si la ecuación característica tiene una solución compleja a+bi
simple (por tanto también tiene por solución su conjugada a-bi)
entonces en la solución general deberá aparecer una expresión de la forma
eax(C1
cosbx+ C2 senbx) |
|
5.
La solución general de una ecuación diferencial
lineal completa de coeficientes constantes viene dada por y(x)
= yH(x) + yp(x), con yH
solución general de la ecuación homogénea e yp una
solución particular de la ecuación completa.
La solución particular se puede determinar con el método
de coeficientes indeterminados que consiste en considerar una función
del mismo tipo que el término independiente con coeficientes indeterminados,
que se calculan imponiendo a esta función que sea solución de la ecuación
completa.
En este caso el término independiente es un polinomio de primer grado, por
ello se considera Ax+B y si
l
= 0 es solución de la ecuación característica con multiplicidad m se
toma como solución particular yp = (Ax+B)
xm, con A y B coeficientes a determinar. |
|
6.
La solución particular de una ecuación diferencial
lineal con coeficientes constantes se puede determinar con el método de coeficientes
indeterminados que consiste en considerar una función del mismo tipo que
el término independiente con coeficientes indeterminados, que se calculan
imponiendo a esta función que sea solución de la ecuación completa.
En este caso el término independiente es un polinomio de primer grado, por
ello se considera Ax+ B y si
l
= 0 es solución de la ecuación característica con multiplicidad m se
considera como solución particular yp = (Ax+B)
xm. |
|
7.
La solución particular de una ecuación diferencial
lineal con coeficientes constantes se puede determinar con el método de coeficientes
indeterminados que consiste en considerar una función del mismo tipo que
el término independiente con coeficientes indeterminados, que se calculan
imponiendo a esta función que sea solución de la ecuación completa.
En este caso el término independiente es un polinomio de segundo grado, por
ello se considera Ax2+Bx+C y si
l
= 0 es solución de la ecuación característica con multiplicidad m se
considera como solución particular yp = (Ax2+Bx+C)
xm. |
|
8.
La solución particular de una ecuación diferencial
lineal con coeficientes constantes se puede determinar con el método de coeficientes
indeterminados que consiste en considerar una función del mismo tipo que
el término independiente con coeficientes indeterminados, que se calculan
imponiendo a esta función que sea solución de la ecuación completa.
En este caso el término independiente es una función exponencial de la
forma b(x) = eax, y si
l
= a es solución de la ecuación característica con multiplicidad
m se considera como solución particular yp = Aeaxxm. |
|
9.
La solución particular de una ecuación diferencial
lineal con coeficientes constantes se puede determinar con el método de coeficientes
indeterminados que consiste en considerar una función del mismo tipo que
el término independiente con coeficientes indeterminados, que se calculan
imponiendo a esta función que sea solución de la ecuación completa.
En este caso el término independiente es una función exponencial de la
forma b(x) = eax, y si
l
=
a
es solución de la ecuación característica con multiplicidad m se
considera como solución particular yp = Aeaxxm. |
|
10.
La solución particular de una ecuación diferencial
lineal con coeficientes constantes se puede determinar con el método de coeficientes
indeterminados que consiste en considerar una función del mismo tipo que
el término independiente con coeficientes indeterminados, que se calculan
imponiendo a esta función que sea solución de la ecuación completa.
En este caso el término independiente es de la forma b(x) = (b1
x+ b2) eax y si
l
= a es solución de la ecuación característica con multiplicidad
m se considera como solución particular yp = (Ax+
B)eaxxm. |