1. Una forma cuadrática dada por una expresión diagonal es semidefinida positiva si sus coeficientes son positivos o cero, habiendo al menos uno positivo y uno nulo.

2. Una forma cuadrática dada por una expresión diagonal es semidefinida negativa si

3. Para que el signo de una forma cuadrática esté determinado por el signo de sus coeficientes, es necesario que la expresión de la forma cuadrática sea diagonal.

4. Para que el signo de una forma cuadrática esté determinado por el signo de sus coeficientes, es necesario que la expresión de la forma cuadrática sea diagonal.

5. Si l₁, l₂, …, l_n  son los valores propios de una matriz simétrica asociada a una forma cuadrática, entonces se verifica:

i) l_i > 0 para i = 1, 2, …, n Þ la forma cuadrática es definida positiva

ii) l_i < 0 para i = 1, 2, …, n Þ la forma cuadrática es definida negativa

iii) l_i ≥ 0 para i = 1, 2, …, n, algún l_j > 0 y algún l_k = 0 Þ la forma cuadrática es semidefinida positiva

iv) l_i ≤ 0 para i = 1, 2, …, n, algún l_j < 0 y algún l_k = 0 Þ la forma cuadrática es semidefinida negativa

6. A continuación se da el criterio de clasificación de una forma cuadrática según su signo mediante los menores principales de una matriz asociada.

La forma cuadrática Q(X) = X^tAX verifica:

1)   Si ïAï ¹ 0  y

a)   todo menor principal de A es positivo Þ Q es definida positiva    

b)   todos los menores principales de A van alternando el signo comenzando por negativo Þ Q es definida negativa

c)   no se verifican las hipótesis de a) ni de b) Þ Q es indefinida

2)   Si ïAï = 0  y

a)   todos los menores principales de A de orden p con 1 ≤ p ≤ n-1 son positivos  Þ  Q es semidefinida positiva    

b)   todos los menores principales de A de orden p con 1 ≤ p ≤ n-1, van alternando el signo comenzando por negativo Þ Q es semidefinida negativa

c)  ningún otro menor principal de A es nulo y no se verifican las hipótesis de d) ni de e) Þ Q es indefinida

7. Dada una forma cuadrática Q(X) = X^tAX, con ïAï ¹ 0 se verifica:

a)   todo menor principal de A es positivo Þ Q es definida positiva    

b)   todos los menores principales de A van alternando el signo comenzando por negativo Þ Q es definida negativa

c)  no se verifican las hipótesis de a) ni de b) Þ Q es indefinida

8. Sea una matriz A simétrica de orden n y Q la forma cuadrática definida por A, se verifica:

• todos los valores propios de A son positivos   Þ   Q es definida positiva  
• todos los valores propios de A son negativos   Þ   Q es definida negativa
• todos los valores propios de A son no negativos, habiendo alguno positivo y alguno nulo   Þ  Q es semidefinida positiva
• todos los valores propios de A son no positivos, habiendo alguno negativo y alguno nulo   Þ  Q es semidefinida negativa
• hay valores  propios de A positivos y negativos  Þ  Q es indefinida

10. La forma cuadrática Q(X) = X^tAX verifica:

§ Q es definida positiva   Û   todo menor principal de A es positivo.  

§ Q es definida negativa  Û  todo menor principal de A de orden par es positivo y todo menor principal de A de orden impar es negativo. 

§ Todos los menores principales de A de orden p con 1 ≤ p ≤ n-1 son positivos y ïAï = 0  Þ  Q es semidefinida positiva

§ Todos los menores principales de A de orden p con 1 ≤ p ≤ n-1 son positivos cuando p es par y negativos cuando p es impar y ïAï = 0  Þ Q es semidefinida negativa

§ ïAï ≠ 0 y  Q no es definida positiva ni definida negativa   Þ  Q es indefinida.

§ ïAiï ≠ 0 con 1 ≤ i ≤ n-1 , ïAï = 0 y no se cumplen las condiciones del tercer y cuarto apartado Þ  Q es indefinida.

11. Todas las expresiones diagonales de una misma forma cuadrática tienen la misma signatura (el número de coeficientes positivos y de coeficientes negativos en una expresión diagonal) y, como consecuencia, el mismo signo.

12. Una forma cuadrática que es indefinida en todo Rⁿ  puede tener cualquier signo en un subconjunto de Rⁿ.

13. Una forma cuadrática que es definida negativa en un subconjunto de Rⁿ  puede ser definida negativa, semidefinida negativa o indefinida en Rⁿ.

14.  El estudio del signo de una forma cuadrática Q(X) = X^tAX restringida a BX = O se puede reducir al estudio del signo de una forma cuadrática sin restricciones con menos variables. Si el rgB = m < n, del sistema lineal homogéneo BX = O se pueden despejar m variables en función de las n-m restantes. Sustituyendo en Q(X) = X^tAX se obtiene una forma cuadrática de n-m sin restricciones. Se verifica que el signo de esta última forma cuadrática sin restricciones es el mismo que el signo de Q(X) = X^tAX restringida a BX = O.