ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE A TRAVÉS DEL DESCUBRIMIENTO DE ERRORES EN LA ASIGNATURA "MATEMÁTICAS I" DE LOS GRADOS DE CARÁCTER ECONÓMICO

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

 

Cuestionario 3: Diagonalización de matrices cuadradas reales

Teoría

1. Un vector propio únicamente puede estar asociado a un valor propio.

2. Si l0 es una valor propio de una matriz A cuadrada de orden n, entonces los vectores propios asociados son las soluciones no nulas del sistema de ecuaciones lineales homogéneo (A- l0In)X = O, que tiene n - rg(A- l0In) grados de libertad.

Por tanto, cada valor propio tiene infinitos vectores propios asociados.

3. Los valores propios de una matriz cuadrada A son las soluciones reales de su ecuación característica.

En este caso, el error cometido aparece al desarrollar el determinante que la define la ecuación característica.

4. Por la definición de valor propio se verifica:

Si l0 es valor propio de una matriz cuadrada A de orden tres, entonces l0 es solución de la ecuación característica de A, es decir, ïA-l0I3ï= 0, de donde se deduce que rg(A-l0I3)< 3.  

5. Si l0 es un valor propio de una matriz A cuadrada de orden n, entonces los vectores propios asociados son las soluciones no nulas del sistema de ecuaciones lineales homogéneo (A- l0In)X = O.

Nunca el vector nulo es vector propio asociado a ningún valor propio.

6. Los valores propios de una matriz A cuadrada de orden n son las soluciones reales de la ecuación característica |A- lInX| = O.

Hay que tener en cuenta que los valores propios de las matrices equivalentes no tienen por qué coincidir.

7. Si l0 es una valor propio de una matriz A cuadrada de orden n, entonces los vectores propios asociados son las soluciones no nulas del sistema de ecuaciones lineales homogéneo (A- l0In)X = O, que tiene n - rg(A- l0In) grados de libertad.

8. El hecho de que una matriz cuadrada tenga determinante nulo o no nulo no determina el que sea o no diagonalizable.

9. Si A es simétrica entonces A es diagonalizable.

La simetría de una matriz cuadrada es condición suficiente para que sea diagonalizable pero no es condición necesaria.

10. Si una matriz de orden n tiene n valores propios distintos, entonces es diagonalizable.

No tiene nada que ver que el determinante de una matriz sea 0 con el hecho de que esa matriz sea o no diagonalizable.

11.  Una matriz o es diagonalizable o no lo es, pero no tiene sentido decir que lo es para una valor propio y no para otro.

Si una matriz de orden 3 tiene un valor propio simple l1 y otro doble l2, una condición suficiente para que sea diagonalizable es que: 3 - rg(A-l2In) = 2= multiplicidad de l2.
12. Si una matriz de orden 3 tiene un valor propio simple l1 y otro doble l2, una condición suficiente para que sea diagonalizable es que: 3 - rg(A-l2In) = 2= multiplicidad de l2.

13. Toda matriz simétrica es diagonalizable.

Si una matriz de orden n tiene n valores propios distintos, entonces es diagonalizable.

El hecho de que una matriz sea o no inversible no tiene nada que ver con que sea o no diagonalizable.

 

 

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